Il paradosso del compleanno nasce dal fatto che la probabilità che due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno, va contro quello che dice l'intuito: fra 23 persone la probabilità è circa del 51%, con 30 persone supera il 70%.

Per effettuare il calcolo, si ricorre alla formula per la probabilità degli eventi indipendenti, per rendere più semplice il calcolo si assume che gli anni siano tutti di 365 giorni e che i compleanni siano equiprobabili.

Il modo più semplice per calcolare la probabilità P(p) che ci siano due persone appartenenti ad un gruppo di p che compiano gli anni lo stesso giorno è calcolare dapprima la probabilità P₁(p) che ciò non accada. Il ragionamento è questo: data una qualunque persona del gruppo (indipendentemente dalla data del suo compleanno), vi sono 364 casi su 365 in cui il compleanno di una seconda persona avviene in un giorno diverso; se si considera una terza persona, ci sono 363 casi su 365 in cui compie gli anni in un giorno diverso dalle prime due persone e via dicendo. Esprimendo in formule quanto sopra, la probabilità che tutti i compleanni cadano in date diverse è:

Questo paradosso ha importanti ricadute nella crittografia e nel dimensionamento del blocco da cifrare. In particolare nell' ambito delle crittografia si utilizza il paradosso del compleanno per indicare che le funzioni hash crittografiche abbiano la proprietà di "resistenza forte alle collisioni".